关于球面切空间定义的疑问

大家好，我最近在学习流形优化相关内容的时候，碰到一个关于球面切空间定义的问题，想和大家一起探讨下。

普遍公认的结论是，d维欧氏空间中球面 $S^{d-1} = { \mathbf{x} | \mathbf{x^\top x} = 1, \mathbf{x} \in \mathbb{R}^d }$ 在点 $\mathbf{x}0$ 处的切空间是 $T{\mathbf{x}_0} S^{d-1} = { \mathbf{v} | \mathbf{x}_0^\top \mathbf{v}=0, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^d }$，我在《An introduction to optimization on smooth manifolds》还有其他资料里都看到过这个定义。

不过我仔细琢磨了一下，满足 $\mathbf{x}_0^\top \mathbf{v}=0$ 的这些向量构成的其实是过原点的线性子空间（可能是直线或者超平面，取决于空间维度），但直觉上切空间应该是在点 $\mathbf{x}_0$ 处与球面相切的平面才对吧？那是不是把切空间的定义写成 ${ \mathbf{x}_0 + \mathbf{v} | \mathbf{x}_0^\top \mathbf{v}=0, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^d }$ 会更贴合实际的几何直观呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者张亦弛