求满足指定像空间与核空间的ℝ⁴→ℝ⁴线性变换及相关几何疑问解答

先把原问题摆出来：

问题：找到一个线性变换 $f: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4$，满足
$$ im(f) = \langle (1, 0,1,0), \ (0,1,0,1) \rangle \quad \text{and} \quad Kern(f) = \langle (1, 1,0,0), \ (0,0,1,1) \rangle $$
注：$\langle \dots \rangle$ 表示括号内向量的所有线性组合构成的子空间。

你提到的两个几何疑问，我先给你捋清楚：

你的几何疑问解答 #

• 第一个问题：完全正确！像空间$im(f)$是由两个线性无关的向量张成的2维子空间，放到4维空间$\mathbb{R}^4$里，它就是一个4维空间中的平面。线性变换$f$的作用就是把整个4维空间里的所有向量，都“压缩”或者说映射到这个2维平面上，所有输出向量都落在这个平面里。
• 第二个问题：这里你有点混淆啦！核空间$Ker(f)$是输入空间$\mathbb{R}^{4$里的子空间**，它是所有被$f$映射到零向量的输入向量的集合，本身也是$\mathbb{R}}4$里的一个2维平面；而像空间是输出空间$\mathbb{R}^4$里的子空间**，两者分属输入和输出两个空间，并不是同一个空间里的子集，所以不能说核是像空间里的“通道”。你可以这么理解：输入空间里这个2维平面（核）上的所有向量，经过$f$之后都变成了零向量；输入空间里其他的向量，会被映射到像空间的那个2维平面上。

快速构造满足条件的线性变换 #

你一开始想通过解线性方程组求变换矩阵的系数，确实容易陷入繁琐的计算里绕不出来，其实咱们可以用基向量映射法来快速构造，思路特别清晰：

构造思路 #

线性变换完全由它对基向量的映射结果决定，所以咱们可以给输入空间$\mathbb{R}^4$选一组“好用”的基，让其中一部分基向量落在核空间里，另一部分基向量直接映射到像空间的基向量上，这样就能直接写出变换矩阵了。

具体步骤 #

1. 先确认核空间的基：$Ker(f) = \langle (1,1,0,0), (0,0,1,1) \rangle$，这两个向量线性无关，是核空间的一组基，对应输入空间里的一个2维平面。
2. 给输入空间补全一组基：我们需要找两个和核空间基向量线性无关的向量，比如选$(1,0,0,0)$和$(0,0,1,0)$，你可以自己验证一下，这四个向量$(1,1,0,0), (0,0,1,1), (1,0,0,0), (0,0,1,0)$是线性无关的，刚好能当$\mathbb{R}^4$的一组基。
3. 定义基向量的映射规则：
   • 核空间里的基向量，经过$f$后必须变成零向量（毕竟核就是映射到零的向量集合嘛）：
     • $f((1,1,0,0)) = (0,0,0,0)$
     • $f((0,0,1,1)) = (0,0,0,0)$
   • 另外两个补的基向量，咱们直接让它们映射到像空间的基向量上：
     • $f((1,0,0,0)) = (1,0,1,0)$
     • $f((0,0,1,0)) = (0,1,0,1)$

写出变换矩阵 #

现在我们要把这个变换转换成标准基下的矩阵（也就是平时咱们用的，矩阵的第$i$列对应标准基向量$e_i$经过$f$后的结果）：

• 标准基$e_1=(1,0,0,0)$：就是咱们选的第三个基向量，所以$f(e_1)=(1,0,1,0)$
• 标准基$e_2=(0,1,0,0)$：可以写成$(1,1,0,0) - (1,0,0,0)$，根据线性变换的线性性，$f(e_2)=f((1,1,0,0)) - f((1,0,0,0)) = (0,0,0,0) - (1,0,1,0) = (-1,0,-1,0)$
• 标准基$e_3=(0,0,1,0)$：是咱们选的第四个基向量，所以$f(e_3)=(0,1,0,1)$
• 标准基$e_4=(0,0,0,1)$：可以写成$(0,0,1,1) - (0,0,1,0)$，同样用线性性，$f(e_4)=f((0,0,1,1)) - f((0,0,1,0)) = (0,0,0,0) - (0,1,0,1) = (0,-1,0,-1)$

这样咱们就得到了变换矩阵$A$：
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & -1 \
1 & -1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & -1
\end{pmatrix}
$$

验证一下 #

你可以自己验证这个矩阵是否符合要求：

• 像空间：矩阵的列向量的线性组合其实就是$\langle (1,0,1,0), (0,1,0,1) \rangle$，和题目要求的完全一致；
• 核空间：解方程组$Ax=0$，得到的解空间就是$\langle (1,1,0,0), (0,0,1,1) \rangle$，也完全符合题目要求！

当然啦，满足条件的线性变换不止这一个，只要是和这个矩阵相似的矩阵，或者用其他基向量构造的变换，都是可行的，咱们构造的只是其中最直观的一个例子。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者johnjorgenson