关于复数序列不等式在有限求和下保持成立的疑问

嘿，这个问题其实核心就是实数的不等式基本性质的延伸，咱们一步步拆解来看，一点都不复杂：

首先要抓住一个关键前提：不管$x_j$、$y_j$、$z_j$是复数，它们的模长$|x_j|$、$|y_j|$、$|z_j|$都是非负实数——这是复数模长的定义决定的，模长本质就是复数到原点的距离，必然≥0。

接下来看单个项的不等式：对于每一个$j=1,2,\dots,n$，都有
$$|x_j| \leq |y_j| + |z_j|$$
这时候我们要做有限求和，本质就是把n个这样的非负实数不等式“加起来”。而实数有一个最基础的加法保序性：如果对于每一组对应的实数，都有$a_j \leq b_j$，那么把所有$a_j$加起来的结果，一定小于等于所有$b_j$加起来的结果。

把这个性质套到咱们的问题里：这里的$a_j$就是$|x_j|$，$b_j$就是$|y_j| + |z_j|$，所以直接就能得到：
$$\sum_{j=1}^n |x_j| \leq \sum_{j=1}^n (|y_j| + |z_j|)$$

然后右边的求和式可以用加法分配律拆成两个独立的求和：
$$\sum_{j=1}^n (|y_j| + |z_j|) = \sum_{j=1}^n |y_j| + \sum_{j=1}^n |z_j|$$

把这两步结合起来，就得到了有限求和后的不等式：
$$\sum_{j=1}^n |x_j| \leq \sum_{j=1}^n |y_j| + \sum_{j=1}^n |z_j|$$

你提到的“有限求和是线性算子”，其实是从另一个角度的解释：有限求和作为线性算子，对于非负序列来说它是单调的——也就是如果输入的序列逐项满足不等式，输出的求和结果也会满足不等式，这和咱们刚才说的实数加法保序性是一致的。

至于无限求和的情况，当三个部分和序列都收敛时，就可以用实数极限的保序性：如果对于所有的n，都有$S_n \leq T_n$，且$\lim_{n \to \infty} S_n = S$、$\lim_{n \to \infty} T_n = T$，那么必然有$S \leq T$。所以把n趋向无穷大时，无限求和的不等式也就成立了。

是不是一下子就明白啦？核心就是把复数模长的问题转化为咱们熟悉的非负实数不等式问题，用基础的实数性质就能解决～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Math Undergrad Student