关于求解定积分$I=\int_0^1 \ln\left(\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{1+\sqrt{1-x^2}}\right)\arccos(x)\,dx$的技术问询

我最近在尝试求解这个定积分，先做了变量代换，步骤如下：

首先进行变量替换：令$\arccos(x)=t$，则$-\sin(t)dt=dx$。当$x=0$时，$t=\frac{\pi}{2}$；当$x=1$时，$t=0$，交换积分上下限后原积分转化为：

$$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln\left(\frac{1-\sqrt{1-\cos^{2t}}{1+\sqrt{1-\cos}2t}}\right)t\sin(t),dt$$

因为$t\in[0,\frac{\pi}{2}]$，$\sin t$非负，所以$\sqrt{1-\cos^2t}=\sin t$，进一步简化积分得到：

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln\left(\frac{1-\sin(t)}{1+\sin(t)}\right)t\sin(t),dt$$

我试着用三角恒等式化简对数里的分式：

$$\frac{1-\sin(t)}{1+\sin(t)}=\left(\frac{\cos\left(\frac{t}{2}\right)-\sin\left(\frac{t}{2}\right)}{\cos\left(\frac{t}{2}\right)+\sin\left(\frac{t}{2}\right)}\right)^2$$

但这个变形之后，积分反而变得更棘手了，我暂时找不到合适的恒等式或者积分技巧来继续推进。有没有大佬能给点思路或者方法？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Amrut Ayan