关于定向$n$维流形上$L^1(M)$空间中$\|\cdot\|_{1,1}$半范数定义的技术问询

我最近正在阅读Vector Analysis（作者Janich），被下面这个练习题难住了：

EXERCISE 5.3. 设$M$是一个定向$n$维流形。作为$L^1(\mathbb{R}n, \mu)$上$| \cdot |{1,1}$的类比，如何在可积$n$-形式构成的向量空间$L^1(M)$上定义半范数$|\cdot|{1,1}$？

对每个$\omega \in L^1(M)$，定义一个$n$-形式$|\omega|$，使得$|\omega| := \int_M |\omega|$确定一个半范数，且该半范数仅在几乎处处为零的形式上取值为0。

我最初的想法是...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Matteo Aldovardi