判断满足|aₙ - aₙ₊₁|≤(n+1)ⁿ/n^(3/2 +n)的序列(aₙ)是否为柯西序列

咱们一步步来分析这个问题：

首先看题目给的条件：对所有正整数$n$，序列$(a_n)$满足$|a_n - a_{n+1}| \leq \frac{(n+1)^n}{n{3/2 +n}}$。

先化简不等式右边的表达式：
把分母拆分可得$n^{3/2 +n} = n^n \cdot n^{{3/2}$，而分子$(n+1)}n$可以改写为$n^n \cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$。代入后右边的式子可以简化为：
$$
\frac{(n+1)^n}{n{3/2 +n}} = \frac{n^n \cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{nn \cdot n^{3/2}} = \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{n{3/2}}
$$

这里有个关键的点：$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n$是单调递增且收敛到自然常数$e$的序列，所以对所有$n$，都有$\left(1+\frac{1}{n}\right)}n < e < 3$，也就是说这个部分有一个固定的上界。因此我们可以得到一个更宽松但更简洁的上界：
$$
|a_n - a_{n+1}| \leq \frac{3}{n^{3/2}}
$$

接下来判断柯西序列的核心技巧：如果级数$\sum_{n=1}^\infty |a_n - a_{n+1}|$收敛，那么序列$(a_n)$一定是柯西序列。

现在看$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{{3/2}}$，这是一个**p级数**，当$p>1$时p级数收敛，这里$p=\frac{3}{2}>1$，所以这个级数是收敛的。而$\sum_{n=1}}\infty |a_n - a_{n+1}|$的每一项都小于等于$\sum_{n=1}^\infty \frac{3}{n^{3/2}}$，根据比较判别法，这个级数也收敛。

由此可以得出结论：满足题目条件的序列$(a_n)$是柯西序列。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Srijan