关于可数无限个单元素补集的交集是否为空集的疑问

嘿，我特别懂你这种听完课心里犯嘀咕的感觉！先把咱们的问题理得明明白白：

今天早上课上教授说，要是取实数集$\mathbb{R}$的可数无限个子集，每个子集都是$\mathbb{R}$去掉一个独一无二的元素，那这些子集的交集是空集。用数学式子写出来就是：
$$\bigcap_{i=1}^\infty \mathbb{R} \setminus {a_i} = \varnothing$$
这里的所有$a_i$都是两两不同的实数——也就是只要$a_b=a_c$，就肯定有$b=c$。

我当时听完直接懵了，总觉得哪里不对，我的思路是这样的：

• 每次只去掉一个元素，哪怕重复可数无限次，总共也只是去掉了可数无限个元素而已
• 可$\mathbb{R}$是不可数无限的，里面的元素比可数无限多太多了，怎么可能把所有元素都去掉呢？按道理交集里应该还剩一大堆元素才对

别怀疑，你的直觉完全是对的！教授的结论要么是口误了，要么是你可能误解了他的表述，咱们一步步掰扯清楚：

1. 先搞懂这个交集到底是什么：根据集合论里的德摩根律，$\bigcap_{i=1}^\infty \mathbb{R}\setminus{a_i}$其实就等于$\mathbb{R} \setminus \bigcup_{i=1}^\infty {a_i}$——说白了，就是$\mathbb{R}$里所有没被去掉的元素，也就是所有不等于任何$a_i$的实数。
2. 现在$\bigcup_{i=1}^\infty {a_i}$是可数无限个单元素集的并集，因为所有$a_i$两两不同，所以它的大小就是可数无限的。
3. 而$\mathbb{R}$是不可数无限的，咱们都知道，不可数无限减去可数无限，剩下的还是不可数无限个元素！所以这个交集绝对不可能是空集，里面还有大把大把的实数呢。

举两个实打实的例子你就更清楚了：

• 假设我们去掉的所有$a_i$就是正整数，也就是$a_1=1$，$a_2=2$，$a_3=3$……那交集就是$\mathbb{R}$里所有不是正整数的数——无理数、负实数、0、非整数的正实数全在里面，怎么可能是空集？
• 哪怕咱们把所有有理数都去掉（有理数本身就是可数无限的），交集就是所有无理数，还是不可数无限个元素，完全不可能是空集。

那教授为啥会那么说？大概率是两种情况：

• 教授可能口误了，比如他想说的是“并集”而非“交集”？或者他想说的是取不可数无限个这样的子集（每个实数都被去掉至少一次），那交集才会是空集？
• 或者你可能误解了教授的表述，比如教授其实想说的是“每个元素都被至少一个子集去掉”，但要做到这一点，你需要的是不可数无限个子集，毕竟$\mathbb{R}$是不可数的，可数个子集最多只能去掉可数个元素，根本覆盖不了所有实数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者nabla_enjoyer