实内积空间中凸锥平移集合的投影等价条件验证问询
问题描述
设$C$是实内积空间$X$中的凸锥，$z \in X$，令$K = C + z$。取$x \in X$，$y_0 \in K$，验证：$y_0 = P_K(x)$（即$y_0$是$x$在$K$上的投影）当且仅当
$$
\langle x - y_0, y \rangle \leq 0 \quad \text{对所有} \quad y \in C
$$
且
$$
\langle x - y_0, y_0 - z \rangle = 0.
$$
完整验证过程
先明确几个核心定义和性质：
- 若$y_0 = P_K(x)$，则$y_0 \in K$，且$|x - y_0| = d(x, K)$（$x$到集合$K$的最短距离）；
- $C$作为凸锥，满足：
- 对任意$y \in C$和$\lambda \geq 0$，有$\lambda y \in C$；
- 对任意$y_1, y_2 \in C$，有$y_1 + y_2 \in C$；
- 凸集投影的变分不等式刻画：$y_0 = P_K(x)$当且仅当对所有$y \in K$，$\langle x - y_0, y - y_0 \rangle \leq 0$。
结合$K = C + z$（任意$y \in K$都可写成$y = c + z$，$c \in C$），我们分两个方向验证等价性：
必要性（$y_0 = P_K(x) \implies$ 两个条件成立）
证明$\langle x - y_0, y_0 - z \rangle = 0$
因为$y_0 \in K$，所以存在$c_0 \in C$使得$y_0 = c_0 + z$，即$y_0 - z = c_0 \in C$。
根据凸锥性质，对任意$t \geq 0$，$t c_0 \in C$，对应$y = t c_0 + z \in K$，代入变分不等式得：
$$\langle x - y_0, (t c_0 + z) - y_0 \rangle \leq 0$$
整理后结合$z - y_0 = -c_0$，可得：
$$(t - 1)\langle x - y_0, c_0 \rangle \leq 0 \quad \forall t \geq 0$$
若$\langle x - y_0, c_0 \rangle > 0$，取$t > 1$则左边为正，矛盾；若$\langle x - y_0, c_0 \rangle < 0$，取$t < 1$（比如$t=0$）左边也为正，矛盾。因此只能$\langle x - y_0, c_0 \rangle = 0$，即$\langle x - y_0, y_0 - z \rangle = 0$。证明$\langle x - y_0, y \rangle \leq 0 \quad \forall y \in C$
将已证的第二个条件代入变分不等式，原不等式简化为：
$$\langle x - y_0, c \rangle \leq 0 \quad \forall c \in C$$
这就是第一个条件，必要性得证。
充分性（两个条件成立 $\implies y_0 = P_K(x)$）
假设两个条件都成立：
- 首先，$y_0 = (y_0 - z) + z$，而$y_0 - z \in C$，所以$y_0 \in K$；
- 任取$y \in K$，则$y = c + z$（$c \in C$），计算$|x - y|^2$：
$$|x - y|^2 = |(x - y_0) + (y_0 - y)|^2 = |x - y_0|^2 + 2\langle x - y_0, y_0 - y \rangle + |y_0 - y|^2$$
拆分内积项：
$$\langle x - y_0, y_0 - y \rangle = \langle x - y_0, (y_0 - z) - c \rangle = \langle x - y_0, y_0 - z \rangle - \langle x - y_0, c \rangle$$
根据第二个条件，第一项为0；根据第一个条件，$\langle x - y_0, c \rangle \leq 0$，所以$-\langle x - y_0, c \rangle \geq 0$，即$\langle x - y_0, y_0 - y \rangle \geq 0$。
因此$|x - y|^2 \geq |x - y_0|^2$，两边开平方得$|x - y| \geq |x - y_0|$对所有$y \in K$成立，说明$y_0$是$x$到$K$的最短距离点，即$y_0 = P_K(x)$，充分性得证。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1392151
