关于SLₙ仿射Grassmannian的Cartan分解及切片的技术问询

嘿各位大佬，我来请教个SLₙ仿射Grassmannian相关的技术问题，先把我已经理清楚的背景内容列出来，方便大家理解我的困惑点：

设 $F=\mathbb{C}((t))$（复洛朗级数域），$O=\mathbb{C}[[t]]$（复幂级数环），取代数群 $G=SL_n$，对应的仿射Grassmannian定义为商空间 $Gr_G=G(F)/G(O)$。

这个Grassmannian有个核心的Cartan分解：
$$
Gr_G=\bigsqcup_{\lambda}G(O)t^{\lambda}G(O)/G(O),
$$
这里的 $\lambda$ 遍历所有支配余权，也就是满足以下两个条件的整数序列 $(\lambda_1, \lambda_2,\cdots, \lambda_n) \in \mathbb{Z}^n$：

• 分量和为0：$\sum_i \lambda_i=0$
• 对应的对角矩阵 $t^{\lambda}$ 形式为：
  $$t^{{\lambda}=\begin{pmatrix}t}{\lambda_1}&&&&& \
  &t^{\lambda_2}&&&&\
  &&\ddots &&&\
  &&&&t^{\lambda_n}
  \end{pmatrix}.$$

现在我卡在了仿射Grassmannian的切片部分，具体是关于集合 $G_1[t^{-1}]G(O)\cap \dots$ 这一块的内容（原问题里这部分没写全，但核心是切片的相关构造和性质我完全摸不着头脑），想请各位帮忙拆解下~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者zhichengzhang