Apostol数论习题3.19a：证明两个地板函数求和等式

我最近在刷Apostol的数论习题，碰到3.19a这题直接卡壳了——盯着求和式看半天，完全找不到入手的方向，只好去搜了点提示来参考。先把题目放出来：

给定正奇数$h$和$k$，$(h,k)=1$，令$a=\frac{k-1}{2}$，$b=\frac{h-1}{2}$。证明：
$$\sum_{r=1}^a \Big\lfloor\frac{h}{k}r\Big\rfloor + \sum_{r=1}^b \Big\lfloor\frac{k}{h}r\Big\rfloor = ab$$

我一开始对着这个带地板函数的求和式毫无头绪，连怎么转化都想不出来。查了提示之后，看到了一个很巧妙的几何视角：

定义矩形$R$为顶点在$(1,1)$和$(h,k)$的矩形。数一下里面坐标均为偶数的格点数量，会发现刚好是$ab$。现在题目里的第一个求和式其实是在数坐标为偶数的格点...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者injo