环中元素的倍数存在性问题

问题描述：设$r$是环$R$中的元素，$n$是正整数，是否存在元素$x \in R$，使得$rx = xr = \underbrace{r + r + \cdots + r}_{n个r}$？

先给大家拆解下这个问题的核心：其实就是想问，环里任意元素的$n$次累加和（也就是咱们说的$n$倍元），能不能找到环内某个元素$x$，让它和$r$做左右乘法都等于这个$n$倍元。

如果环$R$有乘法单位元的话，这个问题的答案是肯定的，而且构造方法特别直接：
咱们取$x = n \cdot 1_R$（这里的$n \cdot 1_R$指的是把乘法单位元$1_R$自身累加$n$次得到的元素），然后用环的分配律验证一下：

• 左边：$rx = r \cdot (n \cdot 1_R) = \underbrace{r \cdot 1_R + r \cdot 1_R + \cdots + r \cdot 1_R}{n个} = \underbrace{r + r + \cdots + r}{n个}$，毕竟单位元和任意元素相乘都等于元素本身；
• 右边：$xr = (n \cdot 1_R) \cdot r = \underbrace{1_R \cdot r + 1_R \cdot r + \cdots + 1_R \cdot r}{n个} = \underbrace{r + r + \cdots + r}{n个}$，同理成立。

这么一看，这个$x$就完美符合问题里的要求啦。不过要提一句，这个构造只在环有乘法单位元的时候管用——要是碰到没有单位元的非幺环，情况就复杂多了，不一定能找到这样的$x$，不过原问题里只明确了有单位元时可证，咱们就先把这部分讲透~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Greg