关于修正型Lorentzian函数Wigner function积分计算正确性的验证请求

我想请各位帮忙检查一下我计算的这个积分是否正确——因为得到的结果有点反直觉，总觉得哪里可能出问题了。具体来说，我要计算一个修正型Lorentzian函数的Wigner函数。

这个Lorentzian函数的形式是：
$$ f(q)= A \frac{\sigma^2}{4q2+\sigma^2} $$
这里$A$是复峰值振幅，$\sigma>0$是函数$f(q)$的半高全宽（FWHM）。

我采用的Wigner函数定义是这样的：
$$W_f(q,p) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty f^*\left( q - \frac{q^\prime}{2} \right) f\left( q + \frac{q^\prime}{2} \right) e^{-iKq\prime p} dq^\prime$$
其中$K \in \mathbb{R}$。

把$f(q)$代入Wigner函数的定义后，我得到了下面的表达式：
$$ W_f(q,p) = \frac{|A|^2\sigma4}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{-iKq\prime p}}{\left[4\left(q - \frac{q^{\prime}{2}\right)}2 + \sigma^2\right]\left[4\left(q + \frac{q^{\prime}{2}\right)}2 + \sigma^2\right]} dq^\prime $$

不过我后续计算这个积分的时候，得到的结果总觉得不太对，和预期的偏差有点大。所以想请教各位：

• 上面这个代入后的积分表达式是不是正确的？有没有哪里代入错了？
• 计算这个积分有没有什么更巧妙的方法，比如变量替换或者利用已知的积分公式？
• 如果可能的话，能不能帮我推导一下最终的Wigner函数形式，或者告诉我一个正确的结果用来对照？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mythicdream