诺特环上多项式环的极大理想刻画问询

我最近在尝试刻画满足**诺特性质的唯一分解整环（UFD）**上多项式环的极大理想，先整理了一些初步思路，想和大家交流探讨：

设 $R[\vec{x}]=R[x_1,x_2,...,x_n]$ 是诺特UFD环 $R$ 上的多项式环，下面是我尝试刻画其极大理想的过程：

因为 $R$ 是诺特环且为UFD，所以多项式环 $R[\vec{x}]$ 也满足诺特性质且是UFD。由于 $R[\vec{x}]$ 是诺特环，它的每个理想都是有限生成的——也就是说，对于任意理想 $I\subset R[\vec{x}]$，都存在一个有限生成子集 $\mathrm{Gen}(I)\subseteq R[\vec{x}]$，不妨设 $\mathrm{Gen}(I)={f_1,...,f_n}$，使得：
$$I={\sum_iq_if_i\in R[\vec{x}]|q_i\in R[\vec{x}]}=\sum_i\langle f_i\rangle$$

另外，我还考虑了 $R[\vec{x}]$ 中的元素集合 ${p_{ij},u_i}\subseteq R[\vec{x}]$，其中 $p_{ij}$ 是素元，$u_i$ 是单位元……（注：原思路内容在此处截断，后续推导尚未完成）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Simón Flavio Ibañez