三重特征值的三阶若尔当型矩阵对应常微分方程组基解矩阵求解指导

嘿，别担心！刚学常微分方程遇到这种若尔当型矩阵的基解矩阵问题，确实很容易卡壳，我一步步带你理清楚怎么求解～

首先，你给出的矩阵是一个三阶若尔当块，特征值λ=2，代数重数为3，但几何重数只有1（因为$(A-2I)$的秩是2，零空间维数是1），所以我们不能直接找到三个线性无关的特征向量，得用广义特征向量来构造解。

步骤1：构造第一个线性无关解（特征向量解） #

先解齐次方程 $(A - 2I)\mathbf{v}_1 = \mathbf{0}$，其中 $A - 2I$ 是：

[0 1 0]
[0 0 1]
[0 0 0]

很明显，这个方程组要求 $\mathbf{v}_1$ 的第二个和第三个分量为0，第一个分量任意，我们取最简单的 $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix}1 \ 0 \ 0\end{bmatrix}$。

对应的解为：
$$\mathbf{x}_1(t) = e^{2t}\mathbf{v}_1 = e^{2t}\begin{bmatrix}1 \ 0 \ 0\end{bmatrix}$$

步骤2：构造第二个线性无关解（一阶广义特征向量解） #

接下来找满足 $(A - 2I)\mathbf{v}2 = \mathbf{v}1$ 的向量 $\mathbf{v}2$，代入计算：
$$\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v{21} \ v{22} \ v{23}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \ 0 \ 0\end{bmatrix}$$
可以得到 $v_{22}=1$，$v_{23}=0$，$v_{21}$ 任意（我们取0简化计算），所以 $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix}0 \ 1 \ 0\end{bmatrix}$。

对应的解形式为带一次项的指数解：
$$\mathbf{x}_2(t) = e^{2t}\left(t\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2\right) = e^{2t}\begin{bmatrix}t \ 1 \ 0\end{bmatrix}$$

步骤3：构造第三个线性无关解（二阶广义特征向量解） #

再找满足 $(A - 2I)\mathbf{v}3 = \mathbf{v}2$ 的向量 $\mathbf{v}3$，代入计算：
$$\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v{31} \ v{32} \ v{33}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \ 1 \ 0\end{bmatrix}$$
得到 $v_{32}=0$，$v_{33}=1$，$v_{31}$ 任意（取0），所以 $\mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix}0 \ 0 \ 1\end{bmatrix}$。

对应的解形式为带二次项的指数解：
$$\mathbf{x}_3(t) = e^{{2t}\left(\frac{t}2}{2}\mathbf{v}_1 + t\mathbf{v}_2 + \mathbf{v}_3\right) = e^{{2t}\begin{bmatrix}\frac{t}2}{2} \ t \ 1\end{bmatrix}$$

拼接得到基解矩阵 #

把这三个线性无关的解作为列向量拼接起来，就是对应的基解矩阵：

[ e^(2t)   t·e^(2t)   (t²/2)·e^(2t) ]
[   0        e^(2t)      t·e^(2t)     ]
[   0         0           e^(2t)      ]

另外，你也可以用矩阵指数的思路来验证：因为 $A = 2I + N$（$N$ 是幂零矩阵，$N^3=0$），所以 $e^{At} = e^{2t}e{Nt}$，而 $e^{Nt} = I + Nt + \frac{N^2t2}{2}$，计算后得到的结果和上面的基解矩阵完全一致，这样是不是更直观了？

刚开始接触广义特征向量肯定会有点绕，多算两次类似的若尔当块例子，很快就能上手啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ayush Kumar Singh