关于矩阵加单位矩阵的谱半径界及用极限形式谱半径定义证明结论的技术问询

先回顾一下已知的结论：对于矩阵$A$，如果用特征值模长最大值来定义谱半径$\rho(A)=\max{|\lambda_i|}$，那很容易证明$\rho(A+I)\leq\rho(A)+1$——毕竟$A+I$的特征值就是$A$的特征值加1，也就是$\lambda_i+1$，再用三角不等式$|\lambda_i+1| \leq |\lambda_i|+1$，取最大值后这个不等式就成立了。

不过谱半径还有个常用的极限形式定义：$\rho(A)=\lim_{k\to\infty} ||A^k||{1/k}$（这里的$||\cdot||$是任意相容矩阵范数，满足$||XY||\leq||X||\cdot||Y||$的那种）。

你的问题是：

• 能不能从这个极限形式的定义出发，证明$\rho(A+I)\leq\rho(A)+1$呢？

当然可以！咱们一步步来推导：

1. 先对$(A+I)^k$做二项式展开：
   $$(A+I)^k = \sum_{m=0}^k \binom{k}{m} A^m I^{k-m} = \sum_{m=0}^k \binom{k}{m} A^m$$
   毕竟$I$的任何次幂都是它本身，所以展开后就是这样的形式。

2. 对展开式取矩阵范数，利用范数的三角不等式（$||X+Y||\leq||X||+||Y||$），可以得到：
   $$||(A+I)^k|| \leq \sum_{m=0}^k \binom{k}{m} ||A^m||$$

3. 接下来用谱半径的极限定义做放缩：对于任意小的$\epsilon>0$，当$k$足够大时，$||A^m|| \leq (\rho(A)+\epsilon)^{m$（这是因为$\lim_{k\to\infty}||A}k||^{{1/k}=\rho(A)$，所以只要$k$足够大，$||A}k||$的$1/k$次方就会小于$\rho(A)+\epsilon$，进而$||A^{k||<(\rho(A)+\epsilon)}k$，对于$m\leq k$的情况也适用）。

4. 把这个放缩代入上面的和式，右边就变成了二项式展开的结果：
   $$\sum_{m=0}^k \binom{k}{m} (\rho(A)+\epsilon)^m = (\rho(A)+\epsilon + 1)^k$$
   这一步就是用了二项式定理：$(a+b)^k=\sum_{m=0}k\binom{k}{m}a^m b^{k-m}$，这里$b=1$，所以直接凑出了这个结果。

5. 现在我们有：当$k$足够大时，$||(A+I)^k|| \leq (\rho(A)+1+\epsilon)^k$。两边同时取$1/k$次方，再取$k\to\infty$的极限：
   $$\lim_{k\to\infty} ||(A+I)^k||{1/k} \leq \lim_{k\to\infty} (\rho(A)+1+\epsilon)^{k \cdot 1/k} = \rho(A)+1+\epsilon$$

6. 最后，因为$\epsilon$是任意大于0的正数，我们可以让$\epsilon$无限趋近于0，这样就得到了：
   $$\rho(A+I) = \lim_{k\to\infty} ||(A+I)^k||{1/k} \leq \rho(A)+1$$

完美，这样就从极限形式的谱半径定义出发，证明了和特征值方法一样的结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者H2O2