近端映射为凸函数的条件及相关实例咨询

最近我在学习优化理论，正琢磨着搞清楚近端映射的各种性质，特别想弄明白什么样的条件下，一个函数的近端映射本身是凸函数。

先明确一下定义：设 $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \cup { -\infty, \infty}$ 是一个扩展实值函数，它的近端映射定义为：
$$
\text{prox}{f}(x) = \arg\min{u \in \mathbb{R}^{n}} \left{ f(u) + \frac{1}{2} | u - x |^{2} \right}
$$

我有两个具体的问题想请教：

一、一般凸性条件 #

当函数 $f$ 满足什么条件时，$\text{prox}_f(x)$ 作为关于 $x$ 的函数是凸的？

二、具体实例 #

有没有一些公认的函数类别（比如凸函数、强凸函数、梯度满足Lipschitz连续的函数等等），它们的近端映射是凸函数？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Chen