n个群的直积在置换下标下的同构性证明求助

对于任意$n$个群$G_1,G_2,\ldots,G_n$和一个置换$\sigma \in S_{n}$，有：
$$G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_n \simeq G_{\sigma(1)} \times G_{\sigma(2)} \times \cdots \times G_{\sigma(n)}$$

这个问题出自Gallian的《当代抽象代数》第九版第168页。

我现在卡在怎么证明这个结论上了。两个群的情况还好说，$G_1 \times G_2 \simeq G_1 \times G_2$这是显然的，我还试着证了$G_1 \times G_2 \simeq G_2 \times G_1$：

我定义了映射$\phi : G_1 \times G_2 \rightarrow G_2 \times G_1$，让$\phi(g_1 , g_2 ) = (g_2 , g_1 )$。我断言这是一个同构，从构造来看它显然是...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1403247