独立同分布随机变量上极限证明求助

各位大佬好！我现在被一道概率题难住了，想请大家帮忙指点一下！题目和我目前的推导思路如下：

题目背景 #

设$X_1,X_2,...$是独立同分布（iid）的随机变量，其概率密度函数（PDF）为：
$$f_{X_n}(t)=\frac{1}{t^2}\mathbb 1_{t\geq1}$$
其中$\mathbb 1_{t\geq1}$是指示函数，当$t\geq1$时取1，否则取0。

问题A：计算$\mathbb E(X_n)$和$\mathbb P(X_n>s)$ #

我自己先算了这部分，过程和结果如下：

• 期望计算：
  $$\mathbb E(X)=\int_1^{\infty\frac{t}{t}2}dt=\int_1^\infty\frac{1}{t}dt=\infty$$
  也就是期望是发散到无穷大的。
• 概率$\mathbb P(X_n>s)$：
  $$\mathbb P(X>s)=1-\int_1^s\frac{1}{t2}dt=1 - \left(-\frac{1}{t}\bigg|_1^s\right)=1-(1-\frac{1}{s})=\frac{1}{s}$$
  这部分应该没问题吧？

问题B：证明$\lim_{n\rightarrow\infty}\sup\frac{X_n}{n}=\infty$ #

这部分我推导到一半卡住了，目前的思路是：
首先计算事件${\frac{X_n}{n}>s}$的概率：
$$\mathbb P(\frac{X_n}{n}>s)=\mathbb P(X_n>ns)=\frac{1}{ns}$$
把这个事件记为$A_n={X_n>ns}$。因为$X_n$是独立同分布的，所以$A_n$也是独立事件，我想着用Borel-Cantelli引理第二部分来做，先算级数和：
$$\sum_{n=1}^\infty\mathbb P(A_n)=\sum_{n=1}^{\infty\frac{1}{ns}=\frac{1}{s}\sum_{n=1}}\infty\frac{1}{n}$$
这个调和级数是发散的，对吧？那根据Borel-Cantelli引理2，独立事件的概率和发散的话，事件发生无穷多次的概率是1，也就是$\mathbb P(A_n \text{ 无穷多次发生})=1$。

如果这个结论成立，那对于任意给定的$s>0$，总有无穷多个n使得$\frac{X_n}{n}>s$，这不就意味着$\sup_{n\rightarrow\infty}\frac{X_n}{n}$可以大于任意大的s，所以上极限就是无穷大？

不过我有点不确定，是不是哪里考虑漏了？比如引理的应用条件有没有完全满足？或者推导过程中有没有逻辑漏洞？麻烦各位大佬帮我看看！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者LostInProbabilities