关于前$n$个素数之和与第$n+1$个素数的比值趋于无穷的初等证明技术问询

大家都知道第$n$个素数的渐近行为可以表示为：
$$p_n\approx n\log n$$
而前$n$个素数之和的渐近估计是：
$$p_1+p_2+\ldots +p_n\approx \frac{1}{2}n^2\log n$$

这些都是相对进阶的数论结论，它们能够直接推出：
$$ \frac{p_1+p_2+\ldots +p_n}{p_{n+1}}\to \infty \quad (1)$$

我现在想请教大家：有没有更初等的方法来证明结论(1)呢？

举个例子，如果能证明$\frac{p_n}{n^2}\to 0$，那其实就足以推出(1)了——因为前$n$个素数之和必然大于等于前$n$个正整数的和，也就是$p_1+\ldots +p_n\ge \sum_{k=1}^nk\approx \frac{n^{2}{2}$，结合$\frac{p_n}{n}2}\to 0$就能得到想要的结论。

另外，这个结论(1)已经在一些数论问题的解答中被使用过。

我之前尝试用欧拉定理来推导，但还没找到可行的思路，所以想问问大家有没有初等的证明方向可以参考？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ryszard Szwarc