椭圆型L¹估计中常数C的区域无关性疑问及文献咨询

我了解一个椭圆型$L^1$估计的版本：若$\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$是有界开集，且$f \in C_{c}^{\infty}(\Omega)$，则有
$$ |f|{L^p(\Omega)} \le C|\Delta f|{L^1(\Omega)}, $$
其中$p \in \left[1,\frac{n}{n-2} \right)$，$C=C(n,p,\Omega)>0$。这个估计的证明用到了格林表示定理和杨不等式。

我的问题是：这个常数$C$能不能做到不依赖于区域$\Omega$？有没有相关的文献可以参考？感谢任何相关的见解！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ray