正整数方程aᵇ·bᶜ=cᵃ的素数整除性证明及b≥a时的求解问题咨询

各位数论领域的大佬们好，我最近卡在一个正整数方程的问题上了，想请教大家的思路：

给定正整数 (a, b, c)，满足方程 (a^b \cdot b^c = c^a)。需要解决两个问题：

1. 证明每一个整除 (a) 的素数，也必定整除 (b)；
2. 在 (b \geq a) 的条件下，求解这个方程的所有正整数解。

我自己尝试了分情况讨论的思路：

• 当 (b > a > 1) 时，我推导出了 (a \mid b)，于是设 (b = ak)（(k) 为正整数），但到这一步就卡壳了，不知道怎么往下推进；
• 当 (a > b > 1) 时，也遇到了类似的瓶颈，同样没法继续推导。

有没有大佬能给我指个方向，或者分享一些关键的推导步骤呀？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nuran Nurməmmədov