关于Oliver Deiser所表述的ZFC替换公理模式的合理性疑问

嘿，最近我在跟着德国作者Oliver Deiser的经典集合论教材学习，他给出的ZFC替换公理模式是这样的：
$$\forall p_1,…,p_n (\forall u \exists ! v (\varphi(u,v,p_1,…,p_n)) \implies \forall x \exists y \forall v (v \in y \iff \exists u (u \in x \land \varphi(u,v,p_1,…,p_n))))$$

不过我越看越困惑：这个表述里的$\exists ! v (\varphi(u,v,p_1,…,p_n))$，严格来说在ZFC里不应该被当成一个“集合”吧？如果允许这类东西存在，会不会不小心引入罗素悖论？我之前学的分离公理里，变量v必须是某个已有集合的子集，但这里完全没提到这一点。

想请教一下各位：这是Deiser的表述出错了吗？还是我理解有偏差，其实这个表述是合理的？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Pippen