满足度数条件的二分图匹配下界证明问询

我最近在做图论习题时遇到了一个卡壳的问题，想请教各位大佬：

设$G$是一个有$n$个顶点的二分图，每个顶点的度数为3或4。证明$G$存在一个大小至少为$\frac{3n}{7}$的匹配。

我自己尝试从之前学过且已经证明过的二分图结论入手：对于任意二分图$G$，都存在一个匹配$M$满足：
$$|M| \geq \frac{E(G)}{\Delta(G)}$$
这里$\Delta(G)$表示图$G$的最大度。

目前我想着分情况讨论，比如先考虑$G$是3-正则图的情况，但后续推导就断了。想问问大家这个思路是否可行？或者有没有其他更顺畅的方法来完成整个证明？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者JLGL