关于从可测空间到博雷尔空间的函数可测性与简单可测函数极限等价性的疑问

最近我在研究可测函数相关内容时，卡到了一个想确认的问题，先明确一下前提设定：

设 $\def\AAA{\mathcal{A}} \def\BBB{\mathcal{B}}$，考虑函数 $f:(X,\AAA)\to (Y,\BBB_Y)$，其中 $(X,\AAA)$ 是一个可测空间，$(Y,\BBB_Y)$ 是博雷尔空间——也就是说 $\BBB_Y$ 是由 $Y$ 上某个固定的可度量化拓扑生成的博雷尔$\sigma$-代数。

我一直在琢磨下面这个结论是否成立：

待验证定理：$f$ 是可测函数当且仅当它是一列简单可测函数的极限。

这里补充一个已知的相关结论：如果把上面结论里的“简单”二字去掉，这个等价性是完全成立的——也就是可测函数恰好是可测函数列的极限，这个结果已经被证实了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sam