有限指标集覆盖下双重求和等式的证明请求

假设$I$是一个有限指标集，$f:I\rightarrow\mathbb{R}$是一个函数。

我们已经知道，如果$(I_j){j\in J}$是$I$的一个划分（即两两不交的子集族，且它们的并集为$I$），那么有：
$$\sum{j\in J}\sum_{i\in I_j}f(i)=\sum_{i\in I}f(i)$$

现在我在思考一个问题：如果只是满足$I=\bigcup_{j\in J}I_j$（不一定是不交的并集），那么下面这个等式是否成立？

• $$\sum_{j\in J}\sum_{i\in I_j}f(i)=\sum_{i\in I}f(i)\cdot\operatorname{card}{j\in J:i\in I_j}$$

我几乎可以确定这个等式是正确的，但就是不知道该怎么证明它，有没有大佬能帮我梳理一下证明思路呀？

我打算用这个结论去推导另一个数学结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者victhor espinos