构造满足期望为0但停时概率极限不存在的独立随机变量序列示例求助

我现在在做一套习题集，题目如下：

Let $X_n$ be independent random variables, and let $$Y_k = \sum_{n=1}^k X_n$$ For $L > 0$, define $\tau_L^+ = \inf{k|Y_k \geq L}$ and $\tau_L^- = \inf{k|Y_k \leq -L}$. Let $p_L = P(\tau_L^+ < \tau_L^-)$.

Give an example where $X_n$ are random variables, not necessarily identically distributed, satisfying $E(X_n) = 0$, but $\lim_{L\to\infty} p_L$ does not exist.

我很难想出这样的例子，比起找例子，我更不确定该怎么验证这个例子是正确的。任何帮助、提示或者部分解答都非常感谢！

构造思路与具体示例 #

其实咱们可以通过交替设计不同“偏向”的随机变量块来实现这个目标——让序列在奇数块里大幅偏向向上突破，偶数块里大幅偏向向下突破，再让这些块的“突破阈值”交替增长，这样当$L$沿着不同的子序列趋向无穷时，$p_L$会趋近于不同的值，自然整体极限就不存在了。

给你一个具体可验证的构造：
我们把随机变量序列分成一段一段的“块”，第$m$个块包含$N_m = 2^{2m}$个独立随机变量（这个数增长得足够快，能保证大数定律的强收敛性）：

1. 当$m$为奇数时（向上块）：
   块里的每个$X_n$取值为：

   • 以概率$\frac{1}{2} + \frac{1}{m}$取$a_m = \frac{m}{N_m}$
   • 以概率$\frac{1}{2} - \frac{1}{m}$取$-b_m$，其中$b_m = a_m \cdot \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{m}}{\frac{1}{2} - \frac{1}{m}}$
     先验证期望：$E(X_n) = (\frac{1}{2}+\frac{1}{m})a_m - (\frac{1}{2}-\frac{1}{m})b_m = 0$，完全符合要求。
     这个块的和$S_m = \sum_{n \in 块m} X_n$，由于$N_m$足够大，根据Chernoff界可以证明：$P(S_m > m - 1) \geq 1 - 1/m^2$——也就是说这个块有极高概率向上突破$m-1$。

2. 当$m$为偶数时（向下块）：
   块里的每个$X_n$取值反过来：

   • 以概率$\frac{1}{2} - \frac{1}{m}$取$a_m = \frac{m}{N_m}$
   • 以概率$\frac{1}{2} + \frac{1}{m}$取$-b_m$，同样$b_m = a_m \cdot \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{m}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{m}}$
     同样验证期望为0，且这个块的和$S_m$满足$P(S_m < -(m - 1)) \geq 1 - 1/m^2$——有极高概率向下突破$-(m-1)$。

验证极限不存在 #

现在我们取两个趋向无穷的$L$子序列：

• 第一个子序列：$L_k = \sum_{i=1}^{2k-1} (i - 1)$，也就是前$2k-1$个块的“向上突破阈值”之和。当$L=L_k$趋向无穷时，我们几乎肯定会在第$2k-1$个向上块就突破$L_k$（因为之前的块都没达到正负阈值，而这个块有极高概率向上超过$m-1$，刚好补到$L_k$），所以$p_{L_k} \to 1$。
• 第二个子序列：$L'k = \sum{i=1}^{2k} (i - 1)$，也就是前$2k$个块的阈值之和。当$L=L'_k$趋向无穷时，我们几乎肯定会在第$2k$个向下块突破$-L'k$，所以$p{L'_k} \to 0$。

因为$p_L$沿着两个不同的子序列趋向不同的极限，所以$\lim_{L\to\infty} p_L$不存在。

验证步骤提示 #

如果你要严格证明这个例子的正确性，可以按这几步来：

1. 逐个验证每个$X_n$的期望为0：直接代入概率和取值计算即可，很简单。
2. 用Chernoff界估计每个块的和的概率：对于向上块，计算$P(S_m \leq m-1)$的上界，证明它小于$1/m^2$；向下块同理。
3. 用Borel-Cantelli引理：因为$\sum_{m=1}^\infty 1/m^2 < \infty$，所以只有有限个块会“失效”（即没达到预期的正负值），几乎必然地，所有足够大的块都能按预期突破。
4. 最后说明两个子序列的$p_L$极限不同，从而整体极限不存在。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nadav