线性函数$f(x)=Ax$的条件数等于$\|A^{-1}\|\cdot\|A\|$的证明问询

嘿，我看你在推导线性函数$f(x)=Ax$的条件数时，中间那步化简有点问题哦——你直接把$|A\Delta x|$替换成$|A||\Delta x|$然后乱约掉了，这可不对，因为算子范数是上确界，不是严格相等，不能直接这么替换化简的。让我们从定义出发一步步来，先明确前提：这里$A$得是可逆的$n$阶方阵（不然$A^{-1}$不存在，你问题里的这个条件数表达式也就没意义啦）。

首先，你已经把条件数的定义正确转换成了：
$$
\text{cond}(f) = \limsup_{|\Delta x| \to 0} \frac{|A\Delta x| \cdot |x|}{|Ax| \cdot |\Delta x|}
$$
这一步没问题，因为$\Delta y = A\Delta x$、$y=Ax$，直接代入原定义就得到这个式子。

接下来我们把这个表达式拆成两个独立的比值：$\frac{|A\Delta x|}{|\Delta x|} \cdot \frac{|x|}{|Ax|}$。先看第一部分$\frac{|A\Delta x|}{|\Delta x|}$，根据算子范数的定义：$|A| = \sup_{z \neq 0} \frac{|Az|}{|z|}$，意思是存在某个非零向量$z$，能让$\frac{|Az|}{|z|}$刚好等于$|A|$。那当$|\Delta x| \to 0$时，我们可以取$\Delta x = tz$（$t$是趋近于0的非零小量），这时候$\frac{|A\Delta x|}{|\Delta x|} = \frac{|Az|}{|z|} = |A|$，所以这个比值的上极限$\limsup_{|\Delta x| \to 0} \frac{|A\Delta x|}{|\Delta x|}$就等于$|A|$。

现在，对于固定的非零$x$，我们得到这部分的上极限是$|A| \cdot \frac{|x|}{|Ax|}$。但条件数的本质是所有非零$x$中的最坏情况，所以我们需要对所有$x \neq 0$取这个值的上确界：
$$
\sup_{x \neq 0} \left( |A| \cdot \frac{|x|}{|Ax|} \right) = |A| \cdot \sup_{x \neq 0} \frac{|x|}{|Ax|}
$$
接下来处理这个上确界$\sup_{x \neq 0} \frac{|x|}{|Ax|}$。因为$A$可逆，我们做变量替换：令$y = Ax$（那么$x = A^{-1}y$，而且$x \neq 0$当且仅当$y \neq 0$），替换之后上确界就变成：
$$
\sup_{y \neq 0} \frac{|A^{-1}y|}{|y|}
$$
而这正好是逆矩阵$A^{{-1}$的算子范数$|A}{-1}|$的定义！

把这两部分结果合起来，就得到：
$$
\text{cond}(f) = |A| \cdot |A^{-1}|
$$
哦对了，还要补充一句：如果$A$不是方阵或者不可逆，那这个结论就不成立了——不可逆的话$A^{-1}$不存在，条件数会是无穷大；长方形矩阵的条件数定义会调整为$|A| \cdot |A^{\dagger|$（$A}\dagger$是伪逆），但你问题里提到了$A^{-1}$，所以我们默认$A$是可逆方阵啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者math1416