关于勒贝格测度下几乎连续但不连续函数示例及拟连续非连续函数反例构造的技术问询

嘿，我最近在构造拟连续但不连续函数的反例，感觉狄利克雷函数是个不错的候选，不过先得把相关定义理清楚——比如勒贝格测度下的几乎连续函数：

一个函数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 被称为关于勒贝格测度几乎连续，当且仅当对任意 $\varepsilon > 0$，存在开集 $U \subset \mathbb{R}$ 满足：

• $\lambda(U) < \varepsilon$，其中 $\lambda$ 表示勒贝格测度；
• 函数 $f$ 在 $\mathbb{R} \setminus U$ 上是连续的。

先来看狄利克雷函数的完整定义，它是从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 的函数：
$$
f(x) =
\begin{cases}
1, & \text{若 } x \in \mathbb{Q}, \
0, & \text{若 } x \notin \mathbb{Q}.
\end{cases}
$$

关于狄利克雷函数的性质分析： #

1. 完全不连续：狄利克雷函数在 $\mathbb{R}$ 的每一点都不连续——因为任意点的任意邻域里都同时包含有理数和无理数，函数值会在0和1之间跳变，完全不满足连续的定义。
2. 勒贝格测度下几乎连续：对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，我们可以枚举所有有理数 ${q_n}{n=1}^\infty$，然后对每个 $q_n$ 取开区间 $(q_n - \varepsilon/(2^{n+1}), q_n + \varepsilon/(2^{n+1}))$，把这些区间的并集记为 $U$。此时 $U$ 是开集，且 $\lambda(U) \leq \sum{n=1}^\infty \varepsilon/2^n = \varepsilon$。而 $\mathbb{R} \setminus U$ 是全体无理数集合，在这个集合上 $f(x) \equiv 0$，显然是连续的，完全满足几乎连续的定义。

不过这里得踩个坑：狄利克雷函数其实不是拟连续函数！拟连续的核心定义是：对任意 $x \in \mathbb{R}$，以及 $f(x)$ 的任意邻域 $V$，存在 $x$ 的邻域 $U(x)$，使得 $f(U(x)) \subset V$（或更严格的版本：存在非空开集 $W \subset U(x)$ 满足 $f(W) \subset V$）。对于狄利克雷函数中的有理数点 $x$，$f(x)=1$，取 $V=(0.5,1.5)$，但 $x$ 的任何开邻域里都包含无理数，$f$ 在这些无理数上取值0，不在 $V$ 内，所以不满足拟连续的要求。

如果要找拟连续但不连续的反例，推荐考虑这个函数：
$$
g(x) =
\begin{cases}
\sin\left(\frac{1}{x}\right), & \text{若 } x \neq 0, \
0, & \text{若 } x = 0.
\end{cases}
$$
它在 $x=0$ 处不连续，但满足拟连续：对 $x=0$ 的任意邻域 $(-\delta, \delta)$，以及 $f(0)=0$ 的任意邻域 $(-\epsilon, \epsilon)$，总能找到足够大的整数 $n$，使得区间 $\left(\frac{1}{\pi(n+\epsilon/2)}, \frac{1}{\pi(n-\epsilon/2)}\right)$ 包含在 $(-\delta, \delta)$ 内，而在这个区间上 $\sin(1/x)$ 的绝对值小于 $\epsilon$，即 $f$ 在这个开子集上的取值都落在 $(-\epsilon, \epsilon)$ 里，完全符合拟连续的定义。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sigma Algebra