有限群中是否必存在与商群同阶的子群？

嘿，你的猜测完全正确！这个结论确实不成立，我给你举个经典的反例，一看就明白：

先把问题再明确下，省得咱们跑偏：

设$G$是阶为$n$的有限群，$H$是$G$的正规子群，阶为$d$（$1<d<n$）。是否存在子群$H'$，使得$H'$的阶为$n/d$（也就是$H$在$G$中的指数）？

而且你也特意强调了，这里的$H$是必须正规的，和其他类似问题有区别。那咱们直接上反例：

• 取群$G = SL(2, 3)$，也就是在域$\mathbb{F}_3$上的2阶特殊线性群，它的阶是24；
• 它的中心$Z(G)$是一个正规子群，阶$d=2$（群的中心天生就是正规子群，这个是群论里的基本结论）；
• 那$n/d = 24/2 = 12$，现在咱们看$SL(2,3)$里有没有阶为12的子群？答案是完全没有！

为啥呢？简单给你捋一捋：如果$SL(2,3)$真有一个阶12的子群，那这个子群在$G$里的指数就是2，按群论里的结论，指数为2的子群必然是正规子群。但$SL(2,3)$的正规子群只有三个：中心$Z(G)$、整个群$G$，还有一个阶8的四元数子群$Q_8$，根本找不到阶12的正规子群，更别说普通子群了。

这样一来，商群$G/H$的阶是12，但$G$里根本没有阶12的子群，完美符合你要的反例场景。

再补个小知识点：这种“对群阶的某个因子，不存在对应阶子群”的群，咱们叫它非CLT群（CLT群就是满足每个阶因子都有对应子群的群），$SL(2,3)$就是典型的非CLT群，刚好撞进咱们的问题场景里。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Aman Kushwaha