基于证人可信度的实际事件概率贝叶斯求解咨询

我最近碰到了两个和证人可信度挂钩的概率问题，想跟大家聊聊：

问题1 #

7月里随便挑一天是雨天的概率是 $\frac{3}{4}$。有两个人，他们的可信度（也就是讲真话的概率）分别是 $\frac{4}{5}$ 和 $\frac{2}{3}$，两人都声称7月15日是雨天。求当天真的是雨天的概率。（给出的答案是：$\frac{24}{25}$）

课本中的类似题型 #

我的课本里也有一道类似的题目：A说真话的概率是 $\frac{4}{5}$，抛一枚硬币之后，A报告说出现了正面。求实际抛出的确实是正面的概率。

我自己初步想了下，觉得这道题里实际是正面的概率，本质上就是A说真话的概率？不过后面的推导内容没写完，想确认下这个思路对不对。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Anonymous