已知可微函数的导数约束与初值，求解定积分可能取值的问题

安全阿岳

2026-4-15

已知可微函数$f(x)$满足：$f'(x) < x \quad \forall x\in \mathbb{R}$，且$f(0)=1$，则$\int_{0}^{1} f(x)dx$的可能取值是（）
(A) $\dfrac{9}{8}$
(B) $\dfrac{3}{2}$
(C) $\dfrac{4}{3}$
(D) $\dfrac{5}{4}$

我的解题思路

我当时是这么入手的：既然题目给出了$f'(x) < x$这个导数的不等式，那首先想到的就是对两边积分来建立$f(x)$的表达式约束。

对$f'(x) < x$两边积分，得到：
$$f(x) < \dfrac{x^2}{2} + C$$
这里的$C$是积分常数，接下来代入已知的初值$f(0)=1$，把$x=0$代入上面的不等式：
$$f(0) < C \implies 1 < C$$
不过后来我发现可以换个更精准的方法，构造辅助函数$g(x) = f(x) - \dfrac{x^2}{2}$，这样的话$g'(x) = f'(x) - x < 0$，这说明$g(x)$在全体实数上是单调递减的函数。

因为$g(0) = f(0) - 0 = 1$，那当$x > 0$时，由于$g(x)$单调递减，必然有$g(x) < g(0) = 1$，也就是：
$$f(x) - \dfrac{x^2}{2} < 1 \implies f(x) < \dfrac{x^2}{2} + 1$$
现在对这个不等式两边在区间$[0,1]$上积分，就能得到定积分的上限：
$$\int_{0}^{1} f(x)dx < \int_{0}^{1} \left( \dfrac{x^2}{2} + 1 \right)dx$$
计算右边的积分：
$$\int_{0}^{1} \dfrac{x^2}{2}dx = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1^3}{3} = \dfrac{1}{6}$$
$$\int_{0}^{1} 1dx = 1$$
加起来就是$\dfrac{1}{6} + 1 = \dfrac{7}{6} \approx 1.1667$

现在看四个选项：