关于李群的有限维表示存在性及非矩阵李群的技术问询

聊到李群的时候，大家最先想到的往往都是矩阵李群的例子，比如$U(n), O(n), Gl_n(\mathbb K), Sl_n(\mathbb K)$这类。这时候肯定会有人提出疑问：“有没有非矩阵李群呢？”答案是肯定的。

如果我们一开始不知道存在非矩阵李群，可能会尝试这样去证明所有李群都是矩阵李群：给任意李群$G$找到一个有限维的忠实表示。但问题来了——$G$到底有没有这样的表示？至少在我看来，这个问题的答案一点都不直观。

拿有限群来说，找一个有限维忠实表示就很简单，就是群环对应的正则表示。但李群的情况要复杂得多，毕竟李群是光滑流形，结构比有限群丰富太多，没办法直接套用有限群的思路。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tina