为何要将级数定义为有序对？

这个问题问得特别好——乍一看把级数定义成有序对$(a_n,s_n)$确实有点多此一举，毕竟从部分和序列$s_n$反推项序列$a_n$明明是可行的：$a_0=s_0$，$a_n=s_n-s_{n-1}$（n≥1）。那为啥要多此一举把俩序列绑一块儿呢？我从几个实际用得上的角度给你掰扯掰扯：

• 把“项”和“部分和”的关联直接固化：很多时候我们研究级数，核心就是看项的性质怎么影响部分和的收敛性，反过来也一样。把它们打包成一个有序对，相当于直接把“这俩序列天生是绑定的，不是随便凑的两个无关序列”这个逻辑写进了定义里。比如你在讨论级数收敛的时候，不用每次都额外说明“$s_n$是$a_n$的部分和”，定义本身就已经把这个关系锁死了。
• 避免歧义，精准对应研究对象：假设只给你一个部分和序列$s_n$，你反推出来的$a_n$是唯一的，但反过来，如果只给你$a_n$，对应的部分和序列也是唯一的——但问题是，有时候我们的研究起点可能是部分和，有时候是项，把它们绑成有序对，就能明确：“我们现在聊的这个‘级数’，同时包含了生成它的项，以及它的累积过程（部分和）”，不会有人误解成“我们只是在聊一个普通的序列$s_n$”或者“只是聊一个普通的序列$a_n$”。
• 符合数学定义的“严谨性优先”原则：数学里很多定义看起来冗余，其实是为了严谨。比如有些场景下，我们可能需要同时引用项和部分和，定义成有序对之后，在做证明或者推导的时候，不用反复去“推导”这俩序列的关系，直接从定义里拿就行。举个例子，当你证明“级数收敛当且仅当部分和序列收敛”的时候，用这个定义的话，直接就能把两者的对应关系作为前提，不用再额外写一遍$s_n$怎么来的。
• 处理特殊情况更方便：比如有些时候我们会遇到“重排级数”，这时候项的顺序变了，部分和序列也会跟着变。把它们绑成有序对，就能清晰地表示“这个重排后的级数，是新的$a'_n$和对应的新的$s'_n$的组合”，不会和原来的级数混淆。

当然啦，你说的“冗余”感完全合理——从信息论角度，俩序列确实互相可推导，单独一个就够承载全部信息。但数学定义有时候不追求“信息最少”，而是追求“表达清晰、使用顺手”。就像我们有时候会把“分数”定义成分子分母的有序对，虽然分数值可以用一个实数表示，但分子分母的有序对能直接体现它的“比例”本质，用起来反而更省心。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Elvis