环面$S^1 \times S^1$对应特定同态共轭类的2叶覆盖空间显式构造问询

嘿，我来帮你搞定这个构造问题！你已经理清了其他三种2叶覆盖的情况，唯独卡在这个把$\pi_1(T^2)$的两个生成元$(1,0)$和$(0,1)$都映射到$S_2$里的对换$(1\ 2)$的同态对应的覆盖，对吧？

我给你两种显式构造的思路，都很直观：

方法一：利用万有覆盖的商空间构造 #

环面$T^{2$可以看作$\mathbb{R}}2$模掉整数格$\mathbb{Z}^{2$的商空间，也就是$T}2 = \mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}^2$，等价关系是$(x,y) \sim (x+m, y+n)$对任意$m,n \in \mathbb{Z}$。

你要的同态$\varphi: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to S_2$的核是子群$K = {(a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \mid a + b \text{ 是偶数}}$，这个子群是$\mathbb{Z}^{2$的指数2子群。我们的覆盖空间$X$就定义为$\mathbb{R}}2 / K$——因为$K$和$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$同构（比如取生成元$(2,0)$和$(1,1)$，就能生成整个$K$），所以$X$其实也是一个环面。

对应的覆盖映射$p: X \to T^{2$是自然的商映射：把$X$中的等价类$[(x,y)]_K$映射到$T}2$中的等价类$[(x,y)]_{\mathbb{Z}^{2}$。这个映射是2叶覆盖，因为$T}2$中每个点的纤维都包含$X$中的两个点，比如$T^{2$里的单位元$[(0,0)]_{\mathbb{Z}}2}$，对应的纤维就是$[(0,0)]_K$和$[(1/2, 1/2)]_K$。

方法二：直接定义$S^1 \times S^1$到自身的覆盖映射 #

我们可以把覆盖空间直接取为另一个环面$S^1 \times S^1$（作为复平面上的单位圆乘积），然后定义覆盖映射$p: S^1 \times S^1 \to S^1 \times S^1$为：
$$p(z,w) = (z^2, zw)$$
这里$z,w$都是单位复数（即$|z|=|w|=1$）。

我们来验证这个映射正好对应你要的同态：

• 取$T^2$的基本群生成元$(1,0)$，对应环路$t \mapsto (e^{2\pi i t}, 1)$（$t \in [0,1]$）。把这个环路从$p^{-1}(1,1)$中的点$(1,1)$提升，得到路径$t \mapsto (e^{\pi i t}, e^{-\pi i t})$，终点是$(-1,-1)$——这是纤维里的另一个点，说明$(1,0)$对应的纤维置换是$(1\ 2)$。
• 再取生成元$(0,1)$，对应环路$t \mapsto (1, e^{2\pi i t})$。从$(1,1)$提升这条环路，得到路径$t \mapsto (e^{\pi i t}, e^{\pi i t})$，终点同样是$(-1,-1)$，说明$(0,1)$对应的纤维置换也是$(1\ 2)$。

完全符合你要的同态要求！这个映射是2叶覆盖，因为每个$T^{2$中的点$(u,v)$，对应的纤维是满足$z}2=u$且$zw=v$的$(z,w)$——对于每个$u$有两个$z$解，每个$z$对应唯一的$w=v/z$，所以正好两个点。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sharang Thimmaiah