混合边界条件下二维拉普拉斯方程求解中解恒为零的合理性疑问

我现在正在求解带有Dirichlet和Neumann混合边界条件的二维拉普拉斯方程，具体的控制方程与边界条件如下：

$$\begin{align}
&Δ \phi = 0 & 0\leq x\leq 1,& -L\leq y\leq L \
&\phi(0,y) = 1, \quad \phi(1,y)=0,& -L\leq y\leq L \
&\frac{\partial \phi(x,-L) }{\partial y} = \frac{\partial \phi(x,L) }{\partial y} = 0, & 0\leq x\leq 1
\end{align}$$

经过推导，我得到了如下形式的解：

$$\phi(x,y) = A_{n}\left[\sinh\left(\frac{n\pi}{L}x\right)-\tanh\left(\frac{n\pi}{L}\right)\cosh\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\right]\cos\left(\frac{n\pi}{L}y\right)$$

之后我尝试利用$\phi(0,y) = 1$这个边界条件，通过余弦傅里叶级数来求解系数$A_n$，结果却算出$A_n=0$，这直接导致整个解变成了零解。我现在有点懵，想问问大家：这个结果是正确的吗？还是我在推导过程中某个步骤出现了错误，或者有没有什么我忽略掉的细节？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1189300