素数阶域$\mathbb{F}_p[x]$中次数≤3的非零多项式分解证明的相关疑问

原问题 #

设$f(x)$是$\mathbb{F}_p[x]$中次数至多为3的非零多项式。证明：若$f(x)=g(x)h(x)$，其中$g(x)$和$h(x)$都不是单位，则$g(x)$或$h(x)$中必有一个次数为1。

我的疑问 #

• 情况1：$deg(f(x))=1$
  我这里有点绕不过来：如果$f(x)$的次数是1，那它分解成$g(x)h(x)$的话，只能是其中一个因子次数为1，另一个次数为0对吧？但$\mathbb{F}_p[x]$里次数为0的多项式不就是单位吗？可题目明确说$g(x)$和$h(x)$都不是单位，那这种分解情况是不是根本就不存在？那这个情况是不是不需要考虑？

• 情况2：$deg(f(x))=2$
  （原思考内容未完成）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者sbxsgxo