特征零域上多项式环的中间子环存在性推广问题

我们来把一个有意思的问题做个推广：

设$k$是特征为零的域，$R=k[x_1,\ldots,x_n]$是$k$上的$n$元多项式环（$n \geq 1$）。

假设多项式$f_1,\ldots,f_n,f_{n+1},f_{n+2} \in R$满足以下两个条件：

• 对每个$j$，$f_j \notin k[f_1,\ldots,f_{j-1},f_{j+1},\ldots,f_{n+2}]$（也就是说每个$f_j$都不能被剩下的$n+1$个多项式生成的子环包含）
• $k[f_1,\ldots,f_{n+2}] \subsetneq R$（这组多项式生成的子环是$R$的真子环）

问题：
是否一定存在$n+1$个多项式$g_1,\ldots,g_{n+1} \in R$，使得$k[f_1,\ldots,f_{n+2}] \subseteq k[g_1,\ldots,g_{n+1}] \subsetneq R$？
（简单说就是，能不能找到一个比原生成子环大，但又还是$R$的真子环的中间环，而且这个中间环的生成元个数比原来的$n+2$个少一个）

我也不介意额外添加一些合理的假设条件

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user237522