拉格朗日乘数法在圆形区域内的极值求解相关问题问询

根据示意图（一个圆形约束的拉格朗日乘数法示意图），我理解这里的约束条件是一个圆的方程：在圆周上满足 $g(x,y)=0$，而且往圆的外部（半径更大的方向）走，$g(x,y)$ 的值会逐渐增大。目前看到的极值（最大值和最小值）都只出现在圆周上。

我现在有两个问题想请教：

• 能不能用拉格朗日乘数法的相关理论，来找到这个圆形内部的局部极值呢？
• 如果把圆的约束条件修改一下，让圆内部以及圆周上的所有点都满足 $g(x,y)=c$（c为某个常数），那是不是就可以用这个方法找到区域内部的极值了？

我是参考了拉格朗日乘数法的视频讲解，以及经典的拉格朗日乘数法教学页面，并且对页面上的内容做了修改后，来思考这些问题的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nick