从n=1起始用生成函数求解卡特兰递推式得到错误结果的原因咨询

我尝试用生成函数求解从n=1而非n=0开始索引的卡特兰递推式，但得到的结果总是有点偏差，真心希望有人能帮我分析下我的方法哪里出了问题。

我们已知卡特兰递推式：
$$P(n) = \begin{cases}
1& n=1\
\sum\limits_{k=1}^{n-1}P(k)P(n-k)& n\geq 2
\end{cases}$$

我想用生成函数方法来解这个递推式，选择从n=1开始定义生成函数——这看起来很合理，毕竟上面的递推式没有n=0的情况，那不如直接避开它。

我定义的生成函数是：
$$G(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty P(n)x^n\
= x + \sum\limits_{n=2}^\infty P(n)x^n$$

之后我把n≥2时的递推关系代入这个式子，可最终得到的结果却和预期的卡特兰数对应不上，实在搞不懂问题出在哪。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Rohit Pandey