利用费马原理推导斯涅尔定律的技术推导咨询

嘿，我来帮你把这个推导过程理得明明白白的～ 首先先明确我们的物理场景和参数设定：

• 假设光线从空气中的A点传播到水中的B点，C是光线在空气-水界面的入射点
• A、B两点的水平总距离为$L$，A到C的水平距离为$x$
• A到界面的垂直距离为$d_1$，B到界面的垂直距离为$d_2$
• 光在空气中的传播速度为$v_1$，在水中的传播速度为$v_2$

根据这些参数，光线从A到C再到B的总传播时间可以用函数表示为：
$$ f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + d_1^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{(L-x)^2 + d_2^2}}{v_2} $$

这个函数的意义很直观：第一项是光线在空气中从A到C的耗时，第二项是在水中从C到B的耗时，加起来就是总耗时。

接下来根据费马原理，光线会走总耗时最短的路径，所以我们需要找到这个函数的极小值点，这就需要对$f(x)$求一阶导数，然后令导数等于0（极小值点的必要条件）：

先求一阶导数：
$$ f'(x) = \frac{x}{v_1\sqrt{x^2 + d_1^2}} - \frac{L-x}{v_2\sqrt{(L-x)^2 + d_2^2}} $$

令$f'(x)=0$，得到：
$$ \frac{x}{v_1\sqrt{x^2 + d_1^2}} = \frac{L-x}{v_2\sqrt{(L-x)^2 + d_2^2}} $$

现在我们把这个式子和角度关联起来：

• 空气中的入射角$\theta_1$，满足$\sin\theta_1 = \frac{x}{\sqrt{x^2 + d_1^{2}}$（这里的$\sqrt{x}2 + d_1^2}$是A到C的路径长度，$x$是这个路径在水平方向的分量，对应入射角的对边）
• 水中的折射角$\theta_2$，满足$\sin\theta_2 = \frac{L-x}{\sqrt{(L-x)^2 + d_2^2}}$（同理，$(L-x)$是B到C的水平分量，对应折射角的对边）

把这两个正弦值代入上面的等式，就得到：
$$ \frac{\sin\theta_1}{v_1} = \frac{\sin\theta_2}{v_2} $$

我们还可以把这个式子转换成更常用的折射率形式：因为光在介质中的速度$v = \frac{c}{n}$（$c$是真空中的光速，$n$是介质的折射率），所以$v_1 = \frac{c}{n_1}$，$v_2 = \frac{c}{n_2}$，代入后$c$可以约掉，最终得到斯涅尔定律的标准形式：
$$ n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2 $$

这样就通过费马原理完美推导出斯涅尔定律啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user9026