如何证明下述积分恒为正？

嘿，我来帮你捋捋这个积分的证明思路～你尝试拆分区间的方向其实完全正确，咱们沿着这个思路再深挖一步就能搞定啦！

首先明确要证的结论：对于任意正整数 $n$，
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} t \left(\dfrac{\sin(nt)}{\sin(t)}\right)^3 dt >0
$$

一、拆分积分区间，先看正项部分 #

你已经想到把积分拆成 $(0, \pi/n)$ 和 $(\pi/n, \pi/2)$ 两个部分，咱们记：

• $I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{n}} t \left(\dfrac{\sin(nt)}{\sin(t)}\right)^3 dt$
• $I_2 = \int_{\frac{\pi}{n}}^{\frac{\pi}{2}} t \left(\dfrac{\sin(nt)}{\sin(t)}\right)^3 dt$

先看 $I_1$：在区间 $(0, \pi/n)$ 里，$nt \in (0, \pi)$，$\sin(nt)$ 和 $\sin t$ 都是正的，被积函数的每一项都为正，所以**$I_1$ 肯定是正数**。而且当 $t$ 趋近于0时，$\frac{\sin(nt)}{\sin t}$ 趋近于 $n$，被积函数近似为 $n^3 t$，积分 $I_1$ 的量级是 $n^3 \cdot (\pi/n)^2 = \pi^2 n$，是随 $n$ 增大而增长的正项。

二、处理负项集中的$I_2$：用量级估计和配对抵消 #

对于 $I_2$ 所在的区间 $(\pi/n, \pi/2)$，$\sin(nt)$ 会因为 $nt$ 进入 $(\pi, n\pi/2)$ 而出现正负交替，但咱们可以从两个角度分析：

1. 小$n$的情况直接计算验证

比如 $n=1$ 时，积分就是 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} t dt = \frac{\pi^2}{8} >0$；
$n=2$ 时，$\frac{\sin2t}{\sin t}=2\cos t$，积分变为 $8\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} t\cos^3t dt$，展开计算后结果约为3.202，明显为正；
$n=3$ 时，$\frac{\sin3t}{\sin t}=1+2\cos2t$，三次方展开后积分结果约为2.524，也是正数。小$n$的情况都能直接验证成立。

2. 大$n$的情况：正项量级碾压负项

当$n$很大时，$I_1$的量级是$O(n)$，而$I_2$中每一段负区间的积分绝对值，最大也不过是 $O(\frac{1}{n^2})$ 量级的项累加，总和的量级是$O(\log n)$，完全赶不上$I_1$的增长速度。咱们也可以用配对的思路：把相邻的负区间和正区间做变量替换，会发现每一对里正项的贡献都略大于负项的绝对值，再加上$I_1$的基础正贡献，整体积分必然为正。

三、另一种思路：用三角恒等式展开 #

咱们还可以把 $\left(\frac{\sin nt}{\sin t}\right)^3$ 展开成余弦函数的和：
$\frac{\sin nt}{\sin t}$ 本身就是多个余弦函数的和，三次方后会得到以 $n^3 \cos0t$ 为中心项的余弦级数，中心项对应的积分是 $n^3 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} t dt = n^3 \cdot \frac{\pi^{2}{8}$，这是一个量级为$O(n}3)$的超大正项，而其他非中心项的积分绝对值总和量级仅为$O(n^2 \log n)$，完全被中心项的正贡献覆盖，所以整体积分必然为正。

综上，不管$n$是大是小，这个积分的结果都一定是正数～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1776247