关于“任意素数p下所有非负整数均可表示为p的正整数倍与素数之差”的数论猜想验证问询

最近我在琢磨数论相关的问题，先是提出了一个猜想：每个非零整数都能写成一个半素数和一个素数的差。

为了把这个思路挖得更深，我先从一个范围更小的相关问题入手研究，结果得到了下面这个新猜想（注：之前的猜想范围描述有误，已经修正了标题和内容）：

修正后的数论猜想 #

对于任意素数 ( p )，所有非负整数 ( k )（包括0）都可以表示为：
$$
k = p \cdot m - q
$$
其中 ( m ) 是正整数，( q ) 是素数。

我自己试了不少小的素数和非负整数，暂时还没找到反例，但一直没能给出严格的数学证明。想请教各位数论领域的大佬，有没有办法帮忙验证这个猜想的正确性？或者能给一些研究思路、相关的已知结论也可以呀！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Akira Sukigi