求解积分∫√[(1+x)/(1+x²)]dx的方法问询

我最近在做积分练习的时候，很快就解决了$\int\frac{1+x}{\sqrt{1+x^{{2}}}dx$这个积分，方法其实挺直观的——我用了换元法，令$x=\tan(y)$，那么对应的$dx=\sec}{2}(y)dy$。

代入之后这个积分就变成了：
$$\int\frac{1+\tan(y)}{\sqrt{1+\tan^{2}(y)}}\sec{2}(y)dy$$
因为$\sqrt{1+\tan^2(y)}=\sec(y)$，所以可以化简成：
$$=\int\frac{1+\tan(y)}{\sec(y)}\sec^{2}(y)dy$$
再整理一下就是：
$$=\int(1+\tan(y))\sec(y)dy$$
拆成两个独立的积分后：
$$=\int\sec(y)dy+\int\tan(y)\sec(y)dy$$
到这一步就很容易计算了，我就不展开具体的求解细节啦。

但是当我碰到$\int\sqrt{\frac{1+x}{1+x^{2}}}dx$这个积分时，我试着用同样的换元法，令$x=\tan(y)$，代入之后积分变成了：
$$\int\sqrt{\frac{1+\tan(y)}{1+\tan^2(y)}}\sec2(y)dy$$
利用$1+\tan^2(y)=\sec2(y)$（也就是$\cos^{2(y)=\frac{1}{1+\tan}2(y)}$），化简后得到：
$$\int\sqrt{(1+\tan(y))\cos^2(y)}\sec2(y)dy$$
进一步整理就变成了：
$$\int\sqrt{\cos(y)+\sin(y)}\sec^{\frac{3}{2}}(y)dy$$
这看起来就复杂多了，我完全不知道该怎么继续推进下去。有没有大佬能给我讲讲这个积分的求解方法呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者IIT Roorkee