群中交换子群与交集的交换性疑问

我最近在群论学习中遇到了一个困惑，想请教一下各位：

设$G$是一个群，$A$和$B$是$G$的两个（可能为正规的）子群。请问下述等式是否成立？
$$[A,G]\cap [B,G] = [A\cap B,G]$$

目前我已经能明确，$[A\cap B,G] \leq [A,G]\cap [B,G]$这个包含关系是显然成立的，但反过来的包含关系是否也成立呢？

之前我留意到类似的问题曾在数学讨论社区被提及，当时这个问题出现在评论区，但始终没有得到解答。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Gillyweeds