有限域中任意表达式的二次剩余判定及$3-2\sqrt{2}$的二次剩余验证问题

嘿，这个问题我来帮你捋一捋！先解决你最关心的$3-2\sqrt{2}$在$p\equiv1\pmod{8}$的$\mathbb{F}_p$中是否为二次剩余的问题——其实有个超直接的观察：

$3-2\sqrt{2}$本身就是$\mathbb{F}_p$中某个元素的完全平方！你算一下就知道：
$$(\sqrt{2}-1)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2\cdot\sqrt{2}\cdot1 + 1^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3-2\sqrt{2}$$

而你已经知道，当$p\equiv1\pmod{8}$时，$\sqrt{2}\in\mathbb{F}_p$，那$\sqrt{2}-1$自然也是$\mathbb{F}_p$中的元素，它的平方当然就是二次剩余了。这比你用勒让德符号或者二项式定理硬算简单多了，完全是个“凑平方”的小技巧～

接下来聊聊你问的：怎么判断任意含整数和根式的表达式是否为有限域中的二次剩余？这里给你几个实用的思路：

• 先尝试化简表达式：优先看看能不能把目标表达式写成某个元素的平方形式，就像上面的例子一样。比如对$(a+b\sqrt{d})$这类形式，你可以反过来假设它是$(x+y\sqrt{d})^2$，展开后对比系数解方程，看看有没有解存在。
• 利用二次扩域的范数与迹：如果你的表达式在$\mathbb{F}_p$的二次扩域$\mathbb{F}_p(\sqrt{d})$中，那可以计算它的范数$\text{Norm}(\alpha)=\alpha\cdot\sigma(\alpha)$（其中$\sigma$是扩域的伽罗瓦自同构，比如$\sigma(\sqrt{d})=-\sqrt{d}$）。对于$\alpha\in\mathbb{F}_p(\sqrt{d})$，$\alpha$是二次剩余的条件可以结合范数来判断：比如当$\alpha\notin\mathbb{F}_p$时，$\alpha$是$\mathbb{F}_p(\sqrt{d})$中的二次剩余当且仅当它的范数是$\mathbb{F}_p$中的二次剩余；如果$\alpha\in\mathbb{F}_p$，那直接用$\mathbb{F}_p$中的二次剩余判定方法就行。
• 推广版的欧拉判别法：对于有限域$\mathbb{K}$（不管是$\mathbb{F}_p$还是它的扩域），一个非零元素$\alpha$是二次剩余当且仅当$\alpha^{{(\vert\mathbb{K}\vert-1)/2}=1$。比如在二次扩域$\mathbb{F}_p(\sqrt{d})$中，域的阶是$p}2$，所以只要计算$\alpha^{(p2-1)/2}$是否等于1就行，用这个可以直接验证。
• 工具辅助猜想：像你用Sage那样，先对小素数范围验证，找规律，再尝试证明。这类代数计算工具能帮你快速排除错误猜想，或者确认某个结论的普遍性，为后续证明指明方向。
• 利用伽罗瓦群性质：二次扩域的伽罗瓦群是2阶的，利用自同构的性质可以把带根式的表达式和它的“共轭”表达式联系起来，比如$\alpha=a+b\sqrt{d}$和$\sigma(\alpha)=a-b\sqrt{d}$，通过分析它们的乘积、和的二次剩余性质，来推导$\alpha$本身的二次剩余性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Stent