关于C*-代数代数张量积元素范数公式的疑问

According to Lance's book of Hilbert modules,

For $r$ in $A\otimes_{\text{alg}}B,$ the norm of $r$ is given by the following formula, in which $S(A),S(B)$ denote the state spaces of $A,B$:
$$|r|^{2=\sup\left{\frac{(\rho\otimes\sigma)(t}*r^{*rt)}{(\rho\otimes\sigma)(t}*t)} \mid \rho\in S(A),\sigma\in S(B),t\in A\otimes_{\text{alg}}B,(\rho\otimes\sigma)(t^*t)\neq0 \right}$$

I couldn't get that equation. Could someone give me a hint? Thanks!

别担心，这个公式其实是结合C*-代数的核心性质和Hilbert模的视角来推导的，给你几个关键的思考提示：

• 先回忆C*-代数元素范数的经典刻画：对于任意C*-代数$C$，元素$x\in C$的范数满足$|x| = \sup\left{ \sqrt{\varphi(x^*x)} \mid \varphi\in S(C) \right}$，其中$S(C)$是$C$的态空间。这个结论是理解张量积范数公式的基础。
• 公式里的比值$\frac{(\rho\otimes\sigma)(t^*rrt)}{(\rho\otimes\sigma)(t^{*t)}$可以改写为$\frac{(\rho\otimes\sigma)((rt)}(rt))}{(\rho\otimes\sigma)(t^t)}$，这本质上是在乘积态$\rho\otimes\sigma$下，$rt$的“归一化”平方范数。你可以把它看作是$r$在“由$t$张成的子空间”上的作用范数*——就像算子理论里，算子$T$的范数是$\sup\left{ \frac{|Tx|}{|x|} \mid x\neq0 \right}$，这里的思路完全一致！
• 结合Hilbert模的背景：Lance的书聚焦Hilbert模，你可以把$A\otimes_{\text{alg}}B$看作是左$A\otimes_{\text{alg}}B$-Hilbert模（或者对应GNS构造出来的Hilbert空间上的算子代数），乘积态$\rho\otimes\sigma$对应GNS表示中的向量态，此时那个比值就是向量态下$|rt|^2/|t|2$的形式，取所有可能的态和测试元素$t$的上确界，自然就得到$r$的范数。
• 从简单特例验证：比如当$A$和$B$都是交换C*-代数时，态就是乘法线性泛函（对应拓扑空间上的点），此时公式会简化为$|r|^2 = \sup\left{ \frac{|r(p,q)|^2 |t(p,q)|^2}{|t(p,q)|2} \mid p\in\sigma(A), q\in\sigma(B), t(p,q)\neq0 \right} = \sup{ |r(p,q)|^2 \mid p\in\sigma(A), q\in\sigma(B) }$，这和交换C*-代数张量积的范数定义完全一致，先搞懂这个特例，再推广到非交换情况会顺畅很多。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Chusou