任意向量空间是否均可定义范数？

先说说你之前尝试的那个“范数”——它确实不是合法的范数，问题出在齐次性这条核心公理上：范数必须满足对任意标量λ和向量x，都有$|\lambda x| = |\lambda| \cdot |x|$。比如你取λ=2，x≠0，按你的定义左边$|2x|=1$，但右边$|2| \cdot |x|=2 \times 1=2$，两边不相等，直接违反了范数的基本要求。

回到你的核心问题：任何实数或复数域上的向量空间，其实都可以定义范数——哪怕是无限维的空间。具体怎么做呢？我们可以借助选择公理（它保证了任何向量空间都存在一组基），给空间取一组基${e_i}$，然后对任意向量x，把它表示成基的线性组合$x = \sum a_i e_i$，接着定义范数：

• 比如取$|x| = \sum |a_i|$（这叫$\ell_1$范数），或者
• $|x| = \sqrt{\sum |a_i|^2}$（$\ell_2$范数），甚至
• $|x| = \max{|a_i|}$（$\ell_\infty$范数）

这些定义都满足范数的三条公理：正定性（只有零向量的范数为0）、齐次性、三角不等式，完全合法。

不过你提到的想要用范数生成离散拓扑的想法，是不可能实现的。原因很简单：范数诱导的拓扑是平移不变的，而且原点的邻域是所有范数小于某个ε的向量组成的集合。如果拓扑是离散的，那单点集${0}$必须是开集，也就是存在ε>0，使得所有$|x| < \varepsilon$的向量只有0本身。但这时候，对任意非零向量x，取$\lambda = \varepsilon/(2|x|)$，那么$|\lambda x| = |\lambda| \cdot |x| = \varepsilon/2 < \varepsilon$，这就意味着$\lambda x$必须是0——但λ≠0，x≠0，这显然矛盾。所以除非向量空间是平凡的（只有零向量），否则范数诱导的拓扑永远不可能是离散拓扑。

总结一下：

• 所有非平凡的实/复向量空间都能定义范数，借助基构造就行；
• 你想要的离散拓扑无法通过范数实现，因为范数的齐次性和离散拓扑的要求冲突；
• 你之前定义的函数不是范数，因为不满足齐次性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Madhu