求周期可积函数自相关函数的傅里叶级数

嘿，这道题我之前也琢磨过，正好给你一步步拆解推导过程～

首先先明确问题：
假设 $f$ 是周期为 $T$ 的可积函数，它的傅里叶级数展开式是：
$$
f(t) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{\frac{2\pi int}{T}}
$$
我们要找它的自相关函数 $r(t)$ 的傅里叶级数，自相关函数的定义是：
$$
r(t) = \frac{1}{T} \int_0^T f(t + u) \overline{f(u)} , du
$$

我的推导思路是这样的：

1. 先把 $f(t+u)$ 和 $\overline{f(u)}$ 都用它们的傅里叶级数展开式代入自相关函数的定义里，得到：
   $$
   r(t) \sim \frac{1}{T} \int_0^T \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_ne^{\frac{2\pi in(t+u)}{T}} \sum_{m=-\infty}^{{\infty}\overline{c_m}e}{\frac{-2\pi imu}{T}} , du
   $$

2. 接下来把双重求和的项合并到积分里面（这里我们默认傅里叶级数满足一致收敛性，所以可以合法地交换求和和积分的顺序），然后整理指数部分的项：
   $$
   r(t) \sim \frac{1}{T} \int_0^T \sum_{n=-\infty}^{\infty} \sum_{m=-\infty}^{{\infty}c_n\overline{c_m}e}{\frac{2\pi i (n-m)u}{T}}e^{\frac{2\pi int}{T}} , du
   $$

3. 注意到 $e^{\frac{2\pi int}{T}}$ 这个项和积分变量 $u$ 完全无关，所以我们可以把它提到积分和双重求和的外面，这样式子就拆成两部分：
   $$
   r(t) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} \sum_{m=-\infty}^{{\infty}c_n\overline{c_m}e}{\frac{2\pi int}{T}} \cdot \frac{1}{T} \int_0^T e^{\frac{2\pi i (n-m)u}{T}} , du
   $$

4. 现在关键的一步来了：计算里面的积分 $\frac{1}{T} \int_0^T e^{\frac{2\pi i (n-m)u}{T}} , du$，这是傅里叶分析里最基础的正交性积分：

   • 当 $n = m$ 时，指数项变成 $e^0 = 1$，积分结果就是 $\frac{1}{T} \times T = 1$
   • 当 $n \neq m$ 时，这个周期指数函数在一个周期内的积分会完全抵消，结果是 $0$

5. 这就意味着，双重求和里只有 $n = m$ 的那些项会保留下来，其他项全都是0。我们把 $m$ 换成 $n$，就可以把双重求和简化成单求和：
   $$
   r(t) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\overline{c_n}e^{\frac{2\pi int}{T}}
   $$

最后整理一下，$c_n\overline{c_n}$ 就是 $|c_n|^2$（傅里叶系数的模的平方），所以自相关函数的傅里叶级数就是：
$$
r(t) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2 e^{\frac{2\pi int}{T}}
$$

简单来说，自相关函数的傅里叶系数正好是原函数傅里叶系数模的平方，这个结论在信号处理里还挺常用的呢～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ma.Te.Pa