关于n面骰子累积和达到k时期望投掷次数与直观计算不符的技术问询

最近碰到个挺挠头的概率问题，本来以为用直觉就能算明白，结果实际验证下来差了一截，想跟大伙请教下问题出在哪。

先把问题原原本本说清楚：

你有一个n面骰子，每次投掷后将点数累加到总和中，请问累积和达到k时，期望需要投掷多少次？

拿n=2、k=45的情况举例：我一开始想，单次投掷的期望点数是(1+2)/2=1.5，那总目标45除以1.5，不就是30次吗？我当时还觉得这答案板上钉钉。

结果我用Python跑了数值模拟，得到的近似结果居然是30.2222...，完全不是我预想的30。后来我还算了精确解，居然是个巨复杂的不可约分分数：$\frac{531674956009017}{17592186044416}$。

这就让我搞不懂了——为啥直观的“总目标值除以单次期望点数”这个思路在这里不成立？偏差到底是从哪来的？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者rolo la