光滑流形上金属线性结构的两个存在条件的等价性求证

嘿，这个问题问到点子上了——其实这两个条件并非在所有光滑流形上都等价，只有在定向流形的前提下才等价，我来给你拆解清楚：

首先先把两个条件的定义钉死，避免术语混淆：

• 标准条件：流形$M$（维数$n$）上存在金属线性结构，当且仅当它的典范线丛$\Omega^n$（即$n$-形式构成的线丛）有一个“平方根”线丛$L$，也就是存在线丛同构$L\otimes L\cong\Omega^n$。
• Bates & Weinstein 给出的条件：流形的第一Stiefel-Whitney类的杯积平方为零，即$w_1(M)^2=0$（这里$w_1(M)$指切丛$TM$的第一Stiefel-Whitney类，它刻画了流形的可定向性：$w_1(M)=0$当且仅当$M$是定向的）。

第一步：从标准条件推导出Bates-Weinstein条件 #

假设标准条件成立：存在线丛$L$使得$L\otimes L\cong\Omega^n$。

我们用实向量丛的Stiefel-Whitney类性质：对任意两个实向量丛$E,F$，第一Stiefel-Whitney类满足$w_1(E\otimes F)=w_1(E)+w_1(F)$，这里的加法是在模2系数的上同调群$H^1(M;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$中进行的。

那对于$L\otimes L$，我们有：
$$w_1(L\otimes L)=w_1(L)+w_1(L)=0$$
而因为$\Omega^n=\det(TM)$（切丛对偶的行列式丛），实向量丛和它的对偶丛有相同的Stiefel-Whitney类，且行列式丛的第一Stiefel-Whitney类等于原向量丛的第一Stiefel-Whitney类，即$w_1(\det E)=w_1(E)$，所以：
$$w_1(\Omega^n)=w_1(\det TM^)=w_1(\det TM)=w_1(TM)=w_1(M)$$
结合$L\otimes L\cong\Omega^{n$，我们得到$w_1(M)=0$。在模2系数的上同调杯积中，零元素的平方自然是零，所以$w_1(M)}2=0$，这就推导出了Bates-Weinstein条件。

第二步：从Bates-Weinstein条件反推标准条件（仅在定向流形上成立） #

如果$M$是定向流形，那么$w_1(M)=0$，此时$w_1(M)^{2=0$自动满足（这就是Bates-Weinstein条件）。同时，定向流形上的典范线丛$\Omega}n$是定向实直线丛——而实定向直线丛一定是平凡丛（因为结构群是连通的$\mathbb{R}^+$，总能找到全局非零截面）。那我们取$L$为平凡线丛，显然$L\otimes L$还是平凡丛，刚好同构于$\Omega^n$，标准条件就成立了。

但如果$M$是非定向流形，情况就不一样了：
非定向流形的$w_1(M)\neq0$，此时$\Omega^{n$是非定向实直线丛（$w_1(\Omega}n)=w_1(M)\neq0$）。而任何线丛$L$的张量积$L\otimes L$的第一Stiefel-Whitney类都是$0$（因为$w_1(L)+w_1(L)=0$），也就是说$L\otimes L$一定是定向线丛，不可能和非定向的$\Omega^{n$同构——哪怕$w_1(M)}2=0$（比如克莱因瓶就满足这个条件），标准条件也不成立。

一句话总结 #

只有当流形是定向的时候，这两个条件才等价；非定向流形上，Bates-Weinstein条件可能成立，但标准条件一定不成立，两者不等价。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者NDewolf